つれづれなるままに

_ [日記] カウンター

332人でした。

_ [日記] のんびり

まぁ、昨日も忙しかったので、その分、今日はまったりと。

ほんとにのんびりしてたなー。

_ [アニメ] JoJo

たまっていたアニメを消化しました。

JoJoはポルナレフが参戦ですね。アホっぽいキャラだけど、6部にも出てくるんですよね。

OPの3Dのやつが、荒木飛呂彦テイストが出ていていいなぁ、と思うのですが。どことなく不自然な動きなんですが、それもまた味に見えてしまうというやつ。JoJoは特にこの3部からはかなり様式美になってきていたからなぁ。

_ [アニメ] 魔法科高校の劣等生

OPがなかったな。

EDも話といっしょに進行していたし。

深雪が頭をぽんぽんってたたかれてぽっとするところがいいです。

_ [アニメ] それでも世界は美しい

なんか、普通は最初の方で制作に力を入れるものだと思うのですが、今になって急に絵が少女漫画っぽく繊細なものになってきました。

まぁ、話がひとつのクライマックスなのはわかるけど。

随分と進行が早いような気がするのは気のせい？

_ [アニメ][カゲプロ] メカクシティアクターズ

メカクシレコードでした。

キドが不思議なポーズとってるし。。

どっかで誰かが言っていたけど、セトの参加理由も一応納得のいくものだったし。

OPとEDがいいなぁ。

ところで、ヒヨリとアヤノが表裏のように使われてるのは何かの象徴なんですかねぇ。ヒビヤとシンタローもキャラが結構かぶってるし。

あぁ、Pixivのフォロワーでは祝ってる人があまりいなくて笑いそうだったのですが、シンタローの誕生日だそうです。人気があるんだかないんだかわからない主人公。

*追記

あ、シンタローの誕生日は30日でした。。

_ [科学] χ二乗分布

まぁ、昨日統計の話が出たのでついでに。

多次元正規分布で、確率変数ベクトル$X$と平均$\mu$、それに共分散行列$\Sigma$で計算できる、expの肩のところにある量$ M = \sqrt{(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu)} $ですが、マハラノビス数という名前がついています。確率変数の次元がいくつでもいっしょです。簡単に言ってしまうと、確率分布楕円の中心からのへだたりみたいなものです。

共分散行列$\Sigma$は、定義からわかるように対称行列になります。

実は実数の対称行列は必ず対角行列といって、対角成分だけにゼロでない数値が入って、他のところが全部0になる形に変形できます。

まぁ、通常は固有値問題というのを解いて出しますね。ベクトル$V$に対して、

$$ V\Sigma = \lambda\Sigma $$となる$\lambda$を求めることを固有値問題といいます。固有値問題は行列の行列式が0でないときにしか解がないのですが、共分散行列についてはその性質上、通常は必ず正の行列式を持ちます。

固有値問題を解くと、$X$の次元の数と同じだけの数の解$\lambda$ができます。これを対角成分に並べたものが、共分散行列を対角化したものになります。$\lambda$のそれぞれに対して固有ベクトル$V$が存在するのですが、このベクトルを横に並べたものが、共分散行列を対角化するのに使う変換行列になります。

まぁ、言葉で言うとなんじゃらほいですが。

要は、$$ R= \begin{pmatrix} V_1 && V_2 && \ldots && V_n \end{pmatrix} $$ と、$$ \Sigma' = \begin{pmatrix} \lambda_1 && \ldots && 0 \\ \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && \ldots && \lambda_n \end{pmatrix} $$ を使ったときに、$$ \Sigma' = R^T \Sigma R $$ となります。

正規分布の共分散行列のときは、この$R$は$R^T R=R R^T=I$ ($I$は単位行列)という性質を持っていて、回転行列と呼ばれます。

そう、確率分布楕円体の共分散行列を対角化するということは、楕円体を回転させることに他ならないのですね。もちろんこれは3次元の回転とは違います。n次元の回転です。

で、キモはこの回転や対角化の操作によってさっき出てきたマハラノビス数は不変なのです。

つまり、マハラノビス数が同じとなる確率変数の組に対する確率密度は、回転しても同じになるのです。楕円体の形が変わらないのですね。

マハラノビス数は対角化された座標系では$$ M=\sqrt{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\lambda_1^2}+ \ldots + \frac{(x_n-\mu_n)^2}{\lambda_n^2}} $$ の形となります。

つまりこの確率変数の二乗の和というのが特徴的な値となっているということです。

で、このマハラノビス数の二乗を$\chi^2$という変数としてみたときの確率分布を考えることができます。

これがいわゆるところのχ二乗分布というやつです。

χ二乗分布は、正規分布する変数の組が、平均値からへだたれたところにある確率を意味することになります。

まぁ、ぶっちゃけ、このχ二乗分布をうまく使うと、観測結果が仮定した確率分布と合っているかどうかの検定ができるのですね。へだたりの確率を出すわけですから、どれこれの確率で仮定した分布に従う、ということが言えるわけですね。

他にもF分布だとかステューデントのt分布やらいろいろとあります。

今のところそっちの方はまだつっこんでやってないので、ちゃんとした意味がまだ掴み切れてないなぁ。

なにせ、大学時代の確率・統計の講義はあまり得意な分野ではなかったからなぁ。。。

でも、まさか大学時代にやっていた線形代数と確率・統計がこういう形で結びつくとは思ってもいませんでしたね。