つれづれなるままに

_ [日記] カウンター

1221人。

まだ正規分布フィーバーなんでしょうか？

_ [日記] いろいろ

ちょっと遅めに朝を食べてからでかけました。

まずは宮鍋へ。狭山茶の新茶の予約に行ったのでした。

写真の茶畑は、震災のあとの原発事故さわぎのときに全部刈り取られていたんですよ。

でも、根っこだけは残してあったんですね。

しばらくは歯抜け状態で生えていましたが、今はしっかりと成長しています。

お茶の生命力は強いです。

新茶はここのが来るのかな。

それから新青梅のコジマへ。

最近改装されたということだったのですが、まだ行ったことがなかったものですから。

確かんに店の商品の陳列密度は増しているな。ヤマダ電気とはかなり違う。

かなり気になったのは、そこここに立っている、店員のPOP。なんかいっぱい見つめられてるみたいで。。。

色々と見て回っていたんですが、とりあえず最近興味があったのはプリンターぐらいなものなんですよね。

で、結構どんぴしゃりのがみつかってしまいました。

Brotherの複合型フルカラーインクジェットプリンターです。

さすがにランニングコストはEpsonやCannonより高いでしょうが、値段は一番安いし結構高機能です。

しばらくうろうろしながら考えていたのですが、なんか気がついたらもう16時を回っています。

連れは図書館に行く予定だったので、そろそろタイムリミットです。

えいや、で買ってしまいました。

1万強でこれだけのが買えるなんて、かなり安くなってきているなぁ。

ビックカメラのポイントカードに結構点数が残っていたものですから、かなり助かりました。って、いつのまにそれだけためたんだろ。確か前のやつからポイントを引きついでいたからそのせいか？ (一回なくしていたのが、あとでみつかっていたのです。大分前に。)

それから市役所の隣りの図書館へ。

連れが調べ物をしてるあいだに、することもなくふらふらと書架を見ていましたが、語学のところでみつけた甲骨文字小辞典に目が止まりました。

https://www.amazon.co.jp/dp/9784480015099

最近、中国の戦国時代とかの文字とかを扱っているので、古い文字の解説書が必須になってきていたんですよね。

この本は白川静とかの過去の解説とかもふまえ、それらに対する批判もしつつ解釈をしてる本なのでした。

書評で収録文字数が少ない、とか、本場中国の研究成果が取り入れられてないといったものはありましたが、それは栓なきこと。

ちなみに、本場のやつもAmazonにあるみたいです。

https://www.amazon.co.jp/dp/9787501019502

中国の研究成果もちゃんと取り入れて考察しないといけないなぁ。

で、TSUTAYAへ。

連れのTカード更新でDVDがレンタルできるので、それで。

ただ、今は大量のアニメを見てるから、そんなにヘビーなものは見れないんですよね。

で、1巻に3話入っていたのを選んできました。

で、夕飯はくら寿司ですませたのでした。

_ [科学] 正規分布、、じゃなくて回転群

正規分布ネタはネタ切れ。

元々そんなに知識があるわけではないですから。

ただ、回転群については大学時代と大学院の時代に量子力学関連でそれなりにやったんですよね。

例のマハラノビス数を一定にする変換です。

まぁ、先にそっちをやってしまいましょうか。

簡単のために、確率変数に対してそれぞれの成分の平均値を引いたものを$X$としておきます。確率変数は実数n個の組とします。

こいつはベクトル空間$R^n$の元になっています。つまり、実数$a, b$と確率変数$X,Y$に対して$a(X+Y)=aX+aYl\in R^n$で、$(a+b)X=aX+bX\in R^n$ですね。つまり、ある事象と他の事象が同時に起きる確率はそれぞれの和になっているわけですね。この演算で、確率変数がだぶっているところは入ってきません。1次元で言うと、例えば1～2にある確率と4～5にある確率の和みたいなもんですね。実数すると、その分数直線をすっとばすので、やっぱり重なりません。(重なってるときは独立じゃなくなるし。)

で、この確率変数のベクトルに対して、$R^T R=RR^T=I$となる行列$R$が回転でしたね。で、回転はいくつも種類があるのですが、それ全体は群を作っているので回転群となります。$SO(n)$というやつですね。積が単位行列になるだけじゃなくて、行列式も1になります。証明はすっとばしますが、要は転置行列(行列の成分をひっくりかえしたもの)が逆行列になっているということは、行列の要素の逆数が入って来ないからです。単に積が単位行列になるだけだったら、例えば対角行列だったらその成分の逆数を成分とする行列を考えれば逆行列になっていますから。

行列式が1ということは、この回転変換によってベクトルのノルムが一定に保たれるということを意味します。

あー、ベクトルの演算$F(V,V)=F(RV,RV)\in R$となるようなが定義できるのですが、その特殊なやつで内積$V\centerdot V=V_1^2+\ldots+V_n^2$が定義できるわけなんですが、それが一定になるわけです。

早い話が、図形をぐるぐる回しても大きさは変わらんよ、ということです。まぁ、だから回転と呼ぶわけなんですが。

で、上の演算の例のひとつがマハラノビス数なわけです。

$$M=X^T\Sigma^{-1}X=X^TR^TR\Sigma^{-1}R^TRX=(RX)^T(R\Sigma^{-1}R^T)(RX)$$ です。

ここで、$X'=RX$と置きます。行列の積の逆行列は積の順番が逆になることに注意。

共分散行列はその定義から、 $$\Sigma'=\frac{1}{n}X'X'^T=\frac{1}{n}(RX)(RX)^T=R(\frac{1}{n}XX^T)R^T=R\Sigma R^T$$ となります。

$\Sigma'$の逆行列は、順番がひっくりかえってさらに逆行列を取ることになるのですが、回転行列の逆行列は結局転置行列だから、結局、 $$\Sigma'^{-1}=R\Sigma^{-1}R^T$$ です。

これを使うと、 $$M=X^T\Sigma^{-1}X=X'^T\Sigma'^{-1}X'$$ となるのはおわかりいただけると思います。

回転しても同じ式になりますね。それで、マハラノビス数は回転不変になるわけです。

マハラノビス数は簡単に言うと中心(平均)からのへだたり、というか距離の一種でした。(なもので、マハラノビス距離ともいう。)

対角化というのは回転によって作ることができるという話はしました。

結局、共分散行列を対角化することによって、マハラノビス数が変化しないので、回転の前後でマハラノビス数が同じところの確率密度はどちらも等価であることがわかります。

まぁ、だから色々と応用が効くのですね。

はぁ。

こんなところでいいでしょうか？

_ [PC] マウスその後

あのあと、元使っていたエネループの充電が終わったので差しなおしたらしっかり動きました。

なんだ、しばらく使ってなかったから電池が飛んだのか。

なんかこの前も同じようなことがあったな。。。