つれづれなるままに

_ [日記] カウンター

424人でした。

_ [日記] X-MEN

今日から上映開始してますね。

明日のチケットを買いました。

このシリーズの最初のやつは大分前でしたね。今はなきSF-fantasyメーリングリストのオフ会で行ったんですよ。その流れで確か2も見たはず。でもウルヴァリンのシリーズは見てなかったりします。

本当に久しぶりだなぁ。

_ [アニメ] プリズマイリヤzwei

7月からやるんですね。公式サイトがいつのまにか更新されていました。

どうにもFate/stay nightsの話の方を良く聞いたものですから、当面やらないのかと思いましたよ。

_ [科学] 逆二乗則

まぁ、ブルーバックの本で色々書こうと思っていたのですが、色々と議論してる質問サイトがありましたね。

まぁ、逆二乗則の妥当性に対する理由付けについては、まぁ、そこに書かれてる内容に対して反駁するだけの材料を持ってないので、なんとも書けませんね。

まぁ、結局のところ、とりあえず観測にかかる現象から演繹した結果として逆二乗則を仮定すると、現象がうまく説明できてさらにそこから計算された内容が追試によって確認できた(観測できる範囲で)ということですね。

逆二乗則というのは、ふたつの荷量 $m$, $M$があったときに、そのふたつの荷量の間に働く力$F$が、$$F \propto \frac{mM}{r^2} $$となる、というやつです。

荷量は質量でも電荷でもかまわないのですが、歴史的には天球上の惑星の動きを記録し、そこから導かれたケプラーの法則、つまり、惑星の軌道は焦点のうちの一方を中心とした楕円上を動く、ということと、単位時間に移動した弧と中心に囲まれた部分の面積はどこでもいっしょである(面積速度一定)があって、さらにその動きを計算によって予測できるようにして考案されたのがニュートンの万有引力の法則なんですね。

$$ F=G\frac{mM}{r^2}$$ です。ここで$G$は重力定数で、比例のつじつまをあわせるための係数、$m$と$M$はふたつの物体の質量、$r$は両者の間の距離です。$r$の二乗の逆数に比例するので、逆二乗則といいます。

ティコ・ブラーエやケプラーの時代に観測された現象程度の精度では、この式の結果が予測通りとなったわけです。

まぁ、ロケットの打上げも、人工衛星の運動も、一義的にはこの式で解けます。実際には重力の不均一性や各種の抵抗力などを考慮する必要があるし、ロケットの場合は推力ももちろん必要ですね。

万有引力の法則から物体の運動を記述するための運動方程式は、簡単のために重力定数を$\mu$とし、距離$r$を両者の重心からの距離とすると、$$ \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=-\mu\frac{m}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}$$の形に表されます。$r$の三乗が入ってしまっていますが、結局重心からの位置ベクトル$\vec{r}$を$r$で割るということは重心から質点までの方向の単位ベクトルを表していて、$-(\vec{r}/r)$で力が中心方向を向いていることを意味しています。

この微分方程式を厳密に解くと、その軌跡は必ず二次曲線のうちのひとつ、つまり楕円か放物線か双曲線のいずれかになります。

放物線は特殊なケースなのですが、楕円は惑星の運動も人工衛星の運動も説明できますし、天体の重力圏を脱出する軌道とか、外からやってきて天体のそばを通り抜けていくような軌道は双曲線軌道になります。

精確には先程述べたように重力の不均等さや抵抗力、もしくは他の天体からの力、さらには相対論的効果などを取り入れる必要があるのですが、ひとつの天体の近傍にいるときは他の天体からの力はある程度無視できるし、重力の不均一さも、重心への力に比べて小さいとみなせるときは、近似的に正しいとみなせます。その条件においては、逆二乗則に対して矛盾する結果は得られないし、二乗以外の、例えば$r^x$みたいな形になっていたときには軌道は二次曲線とならなくなるので、観測事実と矛盾します。

まぁ、そういうことですね。

このことは二体問題は厳密に解ける、という言い方で表現されますね。

ちなみに、質量のオーダーが無視できない3個以上の質点のあいだの運動方程式は、解析的に解くことができなくなりますが、通常は不安定なものになります。

で、感心したのは、考えてもみればあたりまえのことなんですが、電荷を持つ質点同士のクーロン力が逆二乗則になっているなら、量子論効果を無視すればその運動は二次曲線になると。ラザフォードの後方散乱(打ち込んだα線が反対側に飛ばされるものがある)は、このうちの双曲線軌道になっていると。まぁ、そりゃそうだ。

もちろん量子論効果がない場合だけなんですが。。

別々に知っていた事実は、案外と単純な理由で説明できる(と期待される)というのが、近代の物理の思想ですからねぇ。

なんで逆二乗となるか、という説明で何年か前の質問サイトで紛糾していましたが。。ブルーバックの先生の直感的な説明が精確ではない、という論拠によりますね。

そこらへんは省略。

物理では数学的に積み上げていく立場と、いくつかの法則については事実として仮定してしまってそれ以外の部分についての説明をつけるという立場を取ったりするんで、適当なところは適当ですませますからねぇ。

今は標準理論やら超弦理論やらは数学先行になっているので、理論的に厳密に積み上げていく方が主流なんでしょうが。

それとも、今時そんなにアバウトにやっている人はいない？