つれづれなるままに

_ [PC] マウス

お仕事が引けてからマウスを買ってきてしまいました。

それほどの精度はなくてもそれなりには欲しいのでブルーレーザーの、小さめのやつ。そして無線の。Bluetoothは今まで何回か使ってみて安定しなかったから避けてるんですよね。そろそろ安定してるのかもしれませんが。バージョン上がってるし。でも無線。

クリック音がしないし。

マウスを持ち上げたときにカーソルが上に逃げてしまいますが、これは慣れだろう。

ふふ。

_ [Vtuber][Vsinger][YuNi][cover] caffeine - Covered by YuNi【秋山黄色】

YuNiのカヴァー。

最近の YuNi はどちらかというとかっこいい系の歌を歌うことが多いですね。

なかなかアルバムが出せてないようですが、このまま歌手の道をつっぱしるんだろうか。

_ [MV][Vtuber][Vsinger][YuNi] GALDE'rLa feat. YuNi & 鹿乃「インサイド」【Official Music Video】

え? YuNi ? と名前を見て一瞬驚きましたよ。

GALDE'rLa のところで鹿乃やGALDE'rLaといっしょにYuNiが歌ってたみたいです。

YuNi と鹿乃がいっしょに活動することこのところ多くなってきてる気がします。話してるところを見たわけではないですがこの二人どこかお互いにリスペクトしてるっぽいところがありますね。

_ [Vtuber][Vsinger] 星乃めあ / 暴想INVENTION feat.コーサカ(MonsterZ MATE) - Music Video -

これはオリジナルなんだろうか。

とにかくもう、歌も動画もかっこいいです。

曲は manpuku で、ラップパートは 高坂はしやん によるもの。

_ [cover][MV][En] BEASTARS - "Kaibutsu" | ENGLISH Ver | AmaLee

AmaLeeによる英語歌詞カヴァー。BEASTERS の怪物。

今やってる分の BEASTERS のかな?

_ [cover][MV][Ru] [BEASTARS Season 2 OP FULL RUS] Kaibutsu (Cover by Sati Akura)

5日前に Sati Akura もロシア語歌詞で怪物カヴァーしていました。

本人動画です。兎耳っぽい髪飾りはBEASTERSの気分を出すためのものなんでしょうね ^^;;

_ [Vtuber][cover] 【歌ってみた/踊ってみた】e-maのど飴キャンペーンソング『e-ma e-ma』【花鋏キョウ】

声はアダルトっぽいのに、何故だろう。どことなく微笑ましいのだが……。

結構大物がこのキャンペーンに参加してるっぽい。電脳少女シロ とか 月ノ美兎とか もこ田めめめ とか……。

_ [Vtuber][cover] うっせぇわ / Ado by おめがシスターズ

おめシスの動画。

なんというか、双子だけに声の質が似ていて、前半はどっちが歌ってるのかわかりにくい感じです。

でもやっぱりリオの方がちょっと太い声なのですね。

_ [Vtuber][cover] 【自作オリジナルMV】グッバイ宣言／Cover by アズマリム【歌ってみた】

アズリムのカヴァー。

以前は残念系後輩キャラだったのが、最近はすっかりがんばってる後輩になってきています。

この動画もアズリムが作ったそうで。Twitterにちょろっと途中経過上げていたな。

最近は歌っていても息切れしなくなってる(?)っぽいし。

_ [AIきりたん][歌ってみた] 【AIきりたんが本気で歌う】夜に駆ける／YOASOBI【NEUTRINOカバー】

すっかりAIきりたん の新曲出なくなったな。これも古いし。

みんな飽きちゃったのかなぁ。

どうしても感情的なものは込められないからね。ボカロは楽器として確立してきてるけど。

あ、これもあったか。昨年の10月みたい。

東北きりたんは超電磁砲を習得しました】sister's noise／frip Side【とある科学の超電磁砲S】

_ [科学] Schwarzschild black hole

ちょっと整理のために。

アインシュタイン方程式は非線形方程式で簡単には解けないのですが、いくつかの制約を加えると厳密解ができたりします。

そのうちのひとつがシュバルツシルド解と呼ばれるもの。球対称のときの解になっています。

最初は3次元のユークリッド空間を極座標で表したときのピタゴラスの定理を求めます。普通の直交座標のときは

$$l^2 = x^2 + y^2 + z^2$$ ですね。

$\theta$ を緯度(ただし北極からはかった角度。単位ラジアン)、 $\varphi$ を経度(単位ラジアン)、 $r$ を極座標原点からの距(単位m)とします。

ラジアン radian というのは半径と同じ長さをもった弧を描くときの角度になります。この単位を使うと、円の上の弧(円の一部を切りとったもの)の長さが角度×半径で求まるようになります。

さて。ピタゴラスの定理を用いるためには角度のままではだめなので距離に換算してやる必要があります。ここで、微小な距離だけを使うことにします。そうすれば球面上の接線方向の距離が近似的に弧の長さと同じとみなせます。

緯度方向は簡単。緯度方向の微小角度 $d\theta$ と、微小距離を考える球面の半径を $r$ とします。距離をラジアンであらわすので、半径によって距離が変わるから特定の半径を決めてやらないといけないので。で、微小距離は $rd\theta$ となります。

経度方向は厄介で、経度方向の距離は緯度によって変わります。これは地球儀を思い浮かべてもらえばわかるのですが、高緯度では同じ経度1度でも距離が小さくなってます。そこで、緯度 $\theta$ のときの経度方向の微小角度 $\varphi$ の部分をそのまま赤道面に投影してしまいます。真上からそのまま影を落としこんだような形になるので、 $\theta$ のときの距離はそのまま赤道面上の距離になります。赤道に投影したときの中心からの距離は $r\cos\left(\pi/2 - \theta\right) = r\sin\theta$ になります。(角度が北極からはかったものであることに注意) これに経度方向の微小角度を与えれば良いので、緯度 $\theta$ のときの微小距離は $rd\varphi\sin\theta$ となります。

半径方向の微小距離は言うまでもなく $dr$ ですね。

これらを使えば微小距離は

$$dl^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\varphi^2$$ という形になります。

シュバルツシルト解でいうところの球対称というのは緯度と経度の取り方をどうやっても形が変わらないということです。つまり極座標で北極と赤道の組を自由に取っても良いということで、その場合に常に上の $dl^2$ の式の形になるということです。

さて、アインシュタイン方程式を解くというのは何を求めるものかというと、四次元時空でのピタゴラスの定理を計算するときの係数を求めることを意味します。例えば重力を考えない場合の極限でアインシュタイン方程式の解は上の $dl^2$ を使って

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dl^2$$ の形になっています。ローレンツ時空とよばれるものです。時間と距離の部分がユークリッド空間のピタゴラスの定理と違って負号が逆転しているのに注意が必要です。これは光を意味する $c^2d\tau^2 = 0$ の場合を考えると、この距離の式が変形できて $c = dl/dt$ と、光の速度が、光の進んだ距離をその間に要した時間の商になっているという当然の結果になるようにするためです。この $dl$ と $dt$ は対象がどのような速度で移動してるかによって変化します。その関係を与えてるのがローレンツ変換なのですが、ここではとりあえず不問にします。

さて、ざっくりと言ってしまうと、アインシュタイン方程式の解はこのローレンツ時空をゆがめていくことで答えが求まるとも言えます。

時空での球対称の場合、どっちの方向を向いているかの任意性と同時にローレンツ変換をしたときにも同じ形をしていないといけないというものがあります。そうしないと速度によって形が歪んでしまい、もはや球対象とは言えないからです。(向きによって形が違ってしまうため。)

そこで角度に関係してる距離のところは常に $r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2\right)$ の形になってると考えて良く、時間と半径の方向の長さだけが重力の効果でスケールが変化しつつ、トータルでは変化しないものである必要があります。つまり

$$c^2d\tau^2 = A(r)c^2dt^2 - B(r)dr^2 - r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2\right)$$ (ここで $A(r)$ と $B(r)$ は半径方向の距離 $r$ だけの関数) の形に必ずなります。

$A(r)$ と $B(r)$ を求めるためにアインシュタイン方程式が必要なのですが、ここではめんどうなのでオミットして答だけを。(いや、簡単に計算する方法があったような気もしますが……。)

結果は以下のような式になります。

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2\right)$$

ここで $r_s$ はシュバルツシルト半径と呼ばれるものです。

これは立体角 $d\Omega$ を使って以下のように書くこともあるようです。

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2d\Omega^2$$

さて、中心からの距離 $r$ がちょうどシュバルツシルト距離になってるとき、 $c^2dt^2$ の項は 0になってしまい、 $dr^2$ の項は0で割るので無限大になってしまいます。外側から少しづつ中心に近づいたとき、 $r$ のスケールが段々と大きくなっていき、時間のスケールがどんどん0に近付くことになります。このことを、天体の中心に近付くにつれて距離(正確には半径方向の距離だけ)が伸びて時間が縮むと考えることができます。外から見てる限りは距離がどんどん伸びて時間がゆっくりと進むことになるのでいつまでたってもシュバルツシルト変形のところまで到達しないことになります。このことからシュバルツシルト距離のところはシュバルツシルト時空における特異点だと考え、そこを時空の地平と呼んだりするのですね。

実際はこのシュバルツシルト半径のところの特異点は座標の取り方だけの問題とされています。極座標を考えたとき北極が特別な点になっているのと同じです。(北極南極では経度が定義できなくて不定になる)

実際にブラックホールに落ちていく人からすると有限の時間とともに中心に落ちていくことになります。

ただ、その場合でも、 $r=0$ のところだけは特殊な意味を持ちます。このとき時間と半径方向の距離は無限大に発散し、緯度と経度は不定になってしまいます。それなので、極座標の原点は数学的な意味での真の特異点となってるそうです。どうがんばっても原点をまたがった距離は測ることができなくなりますし、距離と同じような式で表される物理法則もここでは成立しなくなるのでした。

さて、シュバルツシルト半径の内側ではどうなるでしょう。外側では $r_s/r<1$ だったのですが、内側では $r_s/r>1$ となります。つまり $(1-r_s/r)$ の負号がひっくりかえります。シュバルツシルト解の時間の部分と半径方向の距離のお互いの負号はプラスマイナスが逆なので、シュバルツシルト半径の内側ではそれぞれの負号が反転し、時間が空間と、半径方向の距離が時間と同じ土俵に上がることになります。(あくまで距離を測る上では)

今までずっとスルーしてきた $c^2d\tau^2$ の $\tau$ ですが、ローレンツ時空のとき、じっとしてる人から見たときに時間と同じものになるので、時空を観測してる人にとっての主観的な時間という意味で固有時間とと呼ばれています。シュバルツシルト解で、シュバルツシルト半径の内側では半径方向の距離が固有時間と同じ土俵に乗り、時間がそこから下りることになります。もし時間の矢というものがあって、時間が常に過去から未来にしか流れないのならば、このとき半径方向にはもはや中心方向への一方通行になってしまい、一方の時間の方は前にも後ろにも移動できるようになってることになります。半径の方は自明ですね。シュバルツシルト半径の内側では中心に落ちるだけで外側に移動することができなくなり、一方で時間の方は逆戻りできるようになります。ただ、戻ってこれないことになるので、時間が逆転しようがしまいが、外の人はそれを感知することはできないのでした。

整理終わり!

カーブラックホールのときは、この時間の進みが事象の地平の外側のエルゴ領域でも発生するらしいのですが、それをもってタイムトラベルが可能だとされるようです。

実際は色々と制約があるので、大きさを持った物体を過去に送り込むのは無理だと思いますがね。。。

一応式は見直したつもりですが、二乗やcが抜けていたらごめんなさい。