つれづれなるままに

_ [AIきりたん][歌ってみた] 【AIきりたんが歌ってみた】炎／LiSA【鬼滅の刃 無限列車編】

思ったよりあった。

というか同じ人のか。

_ [科学] 光速弾?

裏を取ってないので勘違いなのかもしれない話です。

相対論効果で物体が光速に近付くと質量が増えると言います。だとすれば光速に近付いた物体はやがてブラックホールになる? もしかして宇宙兵器に使えるんじゃない? みたいな話。

まぁ、実際にはブラックホールにはならないそうですが…。。

式であらわそうとしたのですが時間がないので。

位置と時刻の組を固有時間 $\tau$ で微分したものを四元速度を呼び、さらにこれに静止質量をかけたものが四元運動量と呼びます。 $\tau$ は速度によっても値を変えないのですが、四元運動量に対しても似たように変化しない量を作ることができます。 三次元の速度に静止質量をかけた運動量 $\vec{p}$ とエネルギー $E$ を用いて、

$$m^2c^2 = \frac{E^2}{c^2} - \vec{p}\centerdot\vec{p}$$

速度が0のとき、この式は $E = mc^2$ とよく知られたエネルギーと質量の式になります。速度を持った場合、エネルギーは運動エネルギーを含んだものになっていて、便宜上動いている物体の質量 $m_v$ を導入して

$$m_0^2c^2 = m_v^2c^2 - \vec{p}\centerdot\vec{p}$$ と書いてみたとします。

さて、位置と速度のローレンツ変換は速度0の物体に対して速度 $v$ の位置速度をつぎのように関連つけます。

$$\begin{align} t' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \\ x' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(x-vt\right) \end{align}$$

速度は一方向きだけを考えれば良いので $x$ だけ考えてます。四元運動量は $m_vc$ が $t$ に、$p_x$ が $x$ に相当する変換を受けます。つまり、

$$\begin{align} m_vc &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}m_0c \\ p_v' &= m_0v \end{align}$$ 元が速度0なので運動量が0となり、$x$ の部分が落ちています。ふたつ目の式は単に運動量を計算してるだけですが、ひとつ目の式は両辺を $c$ で割って、 $$m_v = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ とできます。ローレンツ収縮と同じ式になってるので、形式的には速度が増すと質量が増加するように見えることになります。それこそ光速に近付くと無限大になるぐらいに……。

先のブラックホールうんたらは、この質量が増加するのだからどこかでブラックホール化するんじゃないか、という話です。

実はこの場合のエネルギーというのは静止質量の持つエネルギーと運動エネルギーがくっついたものであり、万有引力の原因となる質量とは区別されるべきものです。速度が変わることでブラックホールになるということは速度によってその物体の近傍の物理的性質が変わってしまうので、相対性が崩れてしまうのでした。もちろん運動エネルギーは増加しますから衝突したときのエネルギーは膨大になりますし、運動量がでかいことになるので加速(速度方向に加速するのも方向を曲げるのもどっちも)が大変にはなります。

別の論拠もあります。

ただの物体の回りの時空は球対象なのでシュバルツシルトブラックホールになりますが、球対象であるためには昨日の式の $r^2d\Omega^2$ の項はどの座標系で見ても変化してはいけません。この座標系はどの慣性系と言い変えることができるので、 $r^2d\Omega^2$ は変化しないはずです。

厳密に言うとピタゴラスの定理から $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ となるので、X軸方向に動いてる場合は

$$r'^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(x-vt\right)\right)^2 + y^2 + z^2$$ となるはずですね。 $r$ は天体の中心からの距離なので $vt$ の項は落ちて、 $$r'^2 = \left(\frac{ｘ}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)^2 + y^2 + z^2 = \frac{x^2}{1-\frac{v^2}{c^2}} + y^2 + z^2$$

これは速度とともに大きくなるので、シュバルツシルト解

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2d\Omega^2$$ で $r$ がどんどんでかくなることに相当するので、時空はむしろどんどん平坦になっていったりして……。

多分、色々と計算違いしてるはず……。