つれづれなるままに

_ [日記] 少々残業のところが

まぁ、記憶が新しいうちにまとめておこうとして、結局残業になったという。

連れはオカリナ関連ででかけていたのですけど、終わるまでそのことを忘れてたし。

ううむ。

今日はとにかく寒いです。

乾燥もしてるみたいですね。

_ [PC] Maxima

数式ソフトとして有名なのは、MathematicaとかMatlabとかですね。でも有料でしかも高かったりするわけで。(Mathematicaはそうでもないのかな？)

Matlabに機能が近いフリーウェアというとOctaveがよく使われてますね。でも、Matlabのアドオンとかの機能はついてないんですよね。誰かが提供してるのかなぁ？

数値計算のところは、確かどちらもFortranの数値計算ライブラリーのLAPACKを使っていたはず。まぁ、Matlabは今は違うものを使っているかもしれませんが。。。

で、今日はMathematicaとフリーで検索してMaximaというソフトをみつけました。案外と数式をそのまま使えるソフトってあるんですね。

このMaximaはGNU LISPで実装されているという、まるでEmacsみたいなツールだったりします。今はCLISPとかの別のLISPを使ってるみたいですけど。スクリプトはALGOLライクで意味としてはLISP的なものになってるらしくて、計算処理のところをFortranソースとして吐き出したり、作図したりする機能があるらしいです。

とりあえずダウンしてみましたけど、使ってみるのはまた今度。

おもしろそうではあるな。

_ [科学] 光速度一定と加速度系における特殊相対性理論

この、11月29日のエントリーで、結構唐突に基本的な式を書いてしまいましたね。3次元空間と時間の時空での一般的な式ではこうなります。

$$ (ct)^2-x^2-y^2-z^2=(ct')^2-(x')^2-(y')^2-(z')^2=0 $$

11月29日のと符号が逆転していますが、意味は同じです。(実は代数的な表現としては全然別物になるのですけど、物理ではどちらの表現を使うこともあります。)

これは何を意味するのか。

移項してみます。

$$ (ct)^2=x^2+y^2+z^2 $$

この右辺は、言うまでもなくピタゴラスの定理による長さの二乗ですよね。その長さがctつまり光速と時間の積に等しいということは、つまり光の進んだ距離のことを表してることになります。

ミソは $ct \neq ct' $ でないということです。

光の早さは同じなのに、光が移動する距離は違うのです。

アインシュタインは考えました。

光といっしょに移動したとき、つまり光にとって自分はどう見えるだろうか。

まぁ、静止してますよね。でも、確かに動いてもいるんです。

だから、$$ (ct)^2-x^2-y^2-z^2=0 $$ になるんです。

これは光の軌跡の式になっています。

それが、どのように運動している人から見ても同じに見えるから、最初のような式になるのですね。

光といっしょに動いていない点について表すと、$$ (ct)^2-x^2-y^2-z^2=s^2 $$になります。

点が光よりも遅い場合は、$ s $は正の値となります。(光よりも早いと $ s $は虚数になります。)

その点といっしょに動く座標系で見たときには、点は常に原点にいることになるので、$ (ct')^2=s^2 $となります。つまり、$ t'=\sqrt{s^2/c^2} $ とみなせることになります。

そこで、$ \tau=\sqrt{s^2/c^2}$と定義してやると、その点から見た時間だとみなしても良いことになります。

この、12月5日のエントリーで書いた運動方程式を考えると、微分方程式を解いた結果は$\tau$の関数となりますが、加速によって速度が変化していった場合でも、$\tau$は一定だから常にその点から見たときの時刻になります。それで、この$\tau$を運動する物体に対する固有時刻と呼んだします。

言い変えると、加速運動している人にとって、自分の時間は常に同じように流れている、という、なんかあたりまえのような意味になるのでした。

(計算される結果はかなり非常識に思えるものになりますが。。。)

ここまでの計算には一切、一般相対論の議論は入ってきません。実際、一般相対論では空間の曲率が問題になるのですけど、この場合、加速度一定の場合の運動では空間の曲率は0になります。完全に特殊相対性理論の範疇なんですね。つまり、特殊相対性理論では、このような加速度の問題を扱えるようなしくみになっているわけです。

電場やら重力場やらがかかわってきたときがややこしくなるのでした。ちゃんちゃん。