つれづれなるままに

_ [日記] カウンター

13だったのですけど、これを更新した25時半ごろでまた192まで上がってますね。

でも、きっと明日は減っているに違いない。

_ [日記] バレンタインデイ

バレンタインデイですな。

_ [中国] 元宵節

元宵節ですな。

_ [カゲプロ] モモ

如月モモの誕生日ですな。

_ [tDiary] 4.0.2

どうにもうまくインストールできなかったtDiaryの4.0.2なんですが、思い切って古いファイルをことごとく削除してからアップしなおしたらなんかうまく表示されるようになりました。

古くから残っていたファイルが何か悪さをしていたみたいです。

公式の説明ではtdiary/io/cache ディレクトリを削除するように、ということだったのですけど、他にも色々とやらないといけないんですね。

一応、独自にインストールしたプラグインとかもあるし、写真とかも削除するわけにいかないので、miscディレクトリとdataディレクトリはそのまま残しました。

_ [日記] 大雪

この前の大雪から1週間もたってないのにまた大雪です。

今朝から降っているのですが、なんとかつくばに行く高速バスは動いていました。TXとか常磐線とかは遅れていたみたいなんですけど。

帰りもなんとかそんなに遅れることなく帰ってこれました。

で、会社についたところで、帰れ指令が出ていたことを知りました。

まぁ、西武線は悪天候にも強いけど、多摩湖線は以前に台風で止まったことがあるし、早く帰ることにしました。

中央線も人身事故やらんやらで止まっているし。

とりあえず、総武線で新宿に出て、それから西武線で帰りました。

それにしても、やたら降っています。

17時ごろに武蔵大和に着いたのですが、もう10センチぐらいの積雪になっていたし。

こりゃ、今日もピザの宅配とかが休みになっているんだろうな。

車とかの上にもいっぱい雪が積もっていたし、家の近くの車道にはもはや車の轍すら見えないほどに積もっていました。

23時時点で、まだ雪が降っているということだけど、一体明日はどうなることやら。

明日はさすがに書道に行かないといけないんだけどなぁ。。。

_ [PC] MathJax

行列が表示されないことに対して、なんとなく理由がわかりました。

$\TeX$で行列をあらわすためにarray環境を使かって見易いように改行していたんですけど、そのときに、フォームの中で改行部分に<p>タグが挿入されていて、それが悪さしていたみたいです。

一行に全部書くとちゃんと表示されるのね。

なんか面倒だなぁ。

$$ \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$みたいな感じですね。

はぁ。

_ [科学] ローレンツ変換、クライン・ゴルドン方程式、ディラック方程式

というわけで、これでようやっとローレンツ変換とかを行列で表すことができるようになったわけですね。

まずはおさらいで、3次元の回転なのですが、3次元内での回転は3つのパラメーターで表すことができます。

まぁ、独立していればなんでもいいんですよ。

一番簡単なイメージとしては、まぁ、回転とはいってもどっかの方向の周りにぐるりと回るということになりますから、その方向(軸)の方向を表すのに2つ、回転角に1つで合計3つですね。方向が2つだというのは、地球上の位置を表すのに緯度と経度で表現できることからわかるでしょう。

(ただし、極座標には南極と北極のような特異点がありますけどね。)

で、別の方法としては、カルテシアン座標(つまり3本の直交した座標軸による座標)のそれぞれの軸のまわりに回転するというのも考えられます。(実際にはもう少し便利な方法はあるのですけど、数学的な定式化としてはこっちの方がわかりやすいので。)

回転変換は上の項目で書いたみたいに行列で書けます。

z軸のまわりの回転は

$$ \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

同じくy軸のまわりは

$$ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \\ z'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi & 0 & \sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\phi & 0 & \cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} $$

さらにx軸のまわりでは

$$ \begin{pmatrix} x''' \\ y''' \\ z''' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\psi & \sin\psi \\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \\ z'' \end{pmatrix} $$

いっこづつダッシュが増えているのに気付かれたでしょうか。つまり、ダッシュなしのところから3回回転して、ダッシュ3つの状態になるのですね。

さて、ローレンツ変換はxとtのふたつの座標に対して計算していました。

実はこのxの軸の向きを回転の前の軸の向きとしてやれば、回転とローレンツ変換は行列を4回かけあわせることで表現できることがわかります。

ローレンツ変換はちなみに

$$ \begin{pmatrix} x'^1 \\ x'^0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi \\ \sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^1 \\ x^0 \end{pmatrix} $$

ここで$ x^0 = ct $で、$ \tanh\varphi = v $です。

はぁ。

さて、と。

量子論の基礎方程式であるシュレーディンガー方程式は、ハミルトンの正準方程式から$ E \to i\hbar\partial/\partial t $と$p \to -i\hbar\nabla$の形式的な置き替えから作れました。ただ、この場合時間と空間の微分の階数が違うので相対論的には成立しない式になります。

で、ハミルトンの正準方程式はエネルギーについての式でした。

相対論でのエネルギーの方程式は$E=mc^2$でしたね。

正確に言うと、運動量$p$を持つときには$E^2-c^2p^2=(mc^2)^2$です。(実際には電磁場を考慮する必要がありますが、とりあえず省略。)

これにさっきの変換をすると、

$$ \left( \left( i \hbar\frac{\partial }{\partial t} \right)^2 - \left( \frac{\hbar}{i} \nabla \right)^2\right) \Psi = m^2 c^4\Psi $$

ここで、$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\stackrel{\mathrm{def}}{=}\square$$とし、$$\mu=\frac{mc}{\hbar}$$と置くと、この式は

$$ (\square+\mu^2)\Psi=0$$

となります。

これがクライン・ゴルドン方程式というやつです。

これはスピン0の相対論的量子に対する方程式になっています。

さて、シュレーディンガー方程式の$\hat{H}$のかわりに、上のクライン・ゴルドン方程式と同時に成立する演算子$\hat{H}_D$を使って、

$$i\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat{H}_D \Psi$$

を考えると、もはや$\hat{H}_D$も$\Psi$も通常の数で表わすことはできなくなります。

具体的な形を書くとわけがわからなくなるので、簡単に4つの4×4行列の組$\gamma^\mu=(\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3)$と、4つの波動関数の組$$\Psi=\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{pmatrix} $$を使って、

$$ (i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=0 $$をディラック方程式といいます。

ここで、$\partial_\mu$は相対論的ベクトル演算子$(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3})$で、上と下にいっしょに$\mu$があるときは、アインシュタインの規約といって、$$\sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu \partial_\mu$$とします。

ディラック方程式はスピン1/2の量子を記述するのですが、波動関数が4つの組になっていることから、自然にスピンがプラスとマイナスのふたつであり、それぞれに粒子と反粒子があることが記述されます。

古典論的には、スピン1/2の粒子、例えば電子などは、スピンが+1/2と-1/2の2種類しか取れないことがわかっていましたが、その理由は説明できません。相対論的な方程式を考慮することで、はじめて自然に記述されるのですね。

ちなみに、ちまたで言われるようにスピンは自転のことではなく、「スピン」という物理量があるんだと思ってください。

はぁ。

ようやっとここまで紹介できましたね。

長い道程だった。

ちゃんと検算してないので、記述ミスがあったら御勘弁。

_ [海外] インドネシアのジャワ島で噴火

13日(日本時間では14日未明)のことなんですけど、インドネシアのジャワ島のKelud山で噴火があったようです。

3人が死亡し、7つの空港が閉鎖、10万人が避難してるようです。Indonesia volcano erupts; 2 killed, 100K evacuatedlや、Indonesian volcano erupts, killing 3 and grounding flightslなど。

_ [日記] 積雪

もう26時になりますが、まだまだ雪が続いています。

外を見てみたんですけど、えらいことになっています。

うちのあたりでは停電はないのですけど、こんなときに停電があったら大変だ。

今も暖房を入れているのですけど、全然あたたかくないです。

突風やら竜巻やら起きてるみたいです。

都心で25センチも積もってるということで、先週の雪並に激しい雪となっているみたいです。

東京では明日の朝には雨になっているということですけど、これだけ積もっているとそう簡単には溶けないだろうなぁ。