つれづれなるままに

_ [日記] いろいろ

まぁ、予想通りカウンターが進まないのが笑ってしまうところなのですが。

どうにも風邪を引いてしまったみたいです。

かなり体がだるくて。

気温が高いから、熱っぽいのかどうかわからないのですけどね。

_ [科学] 運動量保存則

簡単に言ってしまうと、運動量というのは質量と速度をかけたものです。

$$ p = mv $$

なぜこんな量が出てくるかというと、物理の法則に運動量保存則という大事な法則があるからなのですね。

ニュートンの運動方程式は、運動量を使うと、$$ F = \frac{dp}{dt} $$ と書けます。

ベクトルでもいいので、$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $$と書くこともできます。

点がいっぱいあったときは、それを全部足し合わせてやればいいです。

$$ \sum_i \vec{F_i} = \sum_i\frac{d\vec{p_i}}{dt} $$

まぁ、点同士が勝手ばらばらになっているときはいいのですが、お互いに力が働く以外に、外から力がなかったとします。

すると、$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = 0 $$ となります。

時間で積分してみましょう。

$$ \sum_i\vec{F}t = \sum{p_i} = const. $$

つまり、質点同士だけにだけ力が働くとき、運動量の総和は一定になります。

特種な場合として、質点がふたつだけの時を考えましょう。質量はそれぞれ$M$, $m$ とします。すると、$$ Mv_1 + mv_2 = M{v'}_1 + m{v'}_2 = const. $$

これは何を意味するのでしょうか？

わかりやすくするために、$v_1=0$としてみましょう。

$$ mv_2=M{v'}_1+m{v'}_2 $$

左辺で、質量$M$の質点の速度は0なのですが、質量$m$の質点は速度$v_2$を持っています。それが右辺では両方とも速度を持っています。

細かい説明ははしょりますが、$v_2$が質量$M$の質点の方向にあったとしましょう。すると、これは質量$M$の物体に質量$m$の物体が衝突して、衝突のあとでそれぞれ速度が${v'}_1$と${v'}_2$になったことになります。物がぶつかったときに、反動で動くことを意味しますね。いわゆるところの作用・反作用の法則です。

ひるがえって、$$ Mv_1 + mv_2 = M{v'}_1 + m{v'}_2 = const. $$

は衝突の前とあとで運動量が変化しないことを意味します。($const.$は定数のことです。)

これを運動量保存則といいます。

運動量は一般形の$p$でもいいので、$$p_1 + p_2 = {p'}_1 + {p'}_2 = const. $$でもいいです。

$p$は質量と速度の積ですから、速度ではなくて質量が変化してもいいのです。

そんな運動があるか？と思いきや、あるんですよね。

一番簡単なのは、風船に空気を入れてから、ぱっと手を離すと飛んでいく、というやつ。これは同じ原理を使っています。空気が押し出すのだ、と考えるのではなく、風船から出る空気が運動量を持っているので、その反動で風船が飛ぶのです。

もっと大掛りなものを考えると、ロケットになります。

ロケットは燃料を燃やして後に噴射しながら飛行しますね。これは後方に速度を持った質量を捨てているので、その反動でロケットが推進する、と考えるのです。だからこそ、空気の無い真空中でもロケットは飛べるのですね。

ロケットの増速量は、噴射の前後の質量を$m_0$, $m_1$とすると、運動方程式を積分することで、$$\varDelta v = c \log_e\frac{m_0}{m_1}$$となります。ここで、重力定数$g$を使って、$c=I_{sp}g$と書いて、この$I_{sp}$を比推力といいます。

$I_{sp}$はエンジンの性能を表す指標となって、この量が大きいほど燃費が良いエンジンということになります。何故なら、同じ質量の変化量に対して、増速量$\varDelta v$がより大きくなるからです。

まぁ、もっとも$I_{sp}$を大きくしようとすると、エンジンの推力が低下するかもしれないんですよね。そこらへんのバランスは難しいですね。