つれづれなるままに

_ [日記] あちい

13時半ごろに目が覚めて時計を見たのですが、そのあとうつらうつらしていたら、気が付いたら15時半でした。

うっひゃ。何時間寝たんだろ。

近くのコンビニに買い物に行ったら、レジを白髪のおじいさんが打っていました。多分、定年退職になったあとの仕事としてここを選んだんでしょう。雇ってもらえたということは良いことだな。見たところ元気に仕事されてるようでした。

でも、こういうバイトはかなり不安定な仕事だし、かなり体力仕事なんですよね。

私には無理だなぁ。腰の問題もあるし。。。

それにしても、今年の連休は実のところハードだったのかもしれないです。

本当にオフの日は寝ちゃってるんですけど、途中に出社する日があるし(そもそも明後日は出社だ。。。)、土曜は書道に行かなければならない。今もなんだかだるい感じが続いてるし、なんだか休まった気がしない。

はて？

それにしても、やらなければならいことがある日に限って寝過すし、しかもなんとなく別のことをやりはじめたらハマって本来やりたかったことができなかったりするというやつ。

時間は限られてるのになぁ。

_ [科学] 重力波

以前、 重力波望遠鏡のところでぼやかして書いたことなのですが、一応 Wikipedia に当たってみました。

もちろん Wikipedia の内容ですし検証なしで半分引用です。

引用元はGravitational waveとEinstein tensorです。

まず下準備です。

ベクトルやテンソルは、右肩や左肩にアルファベットの添字が付いた形で表現します。アルファベットの添字は 0, 1, 2, 3 と変化します。 $A^\mu$ や $a_\mu$ といった形です。それからアインシュタインの規約として、上と下に同じアルファベットの添字が来たときはその添字を0～3に変化させて和を取ります。つまり、 $$ A_\mu B^\mu = \sum_{\mu=0}^{3} A_\mu B^\mu $$ です。

空間の微小距離を計算するために計量 $g_{\mu\nu}$ を導入します。つまり微小長のベクトル $dx^\mu $ に対して、 $$ ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$ となります。一般相対論の計算はこの計量 $g_{\mu\nu}$ を求めることに帰結します。

平坦な空間における計量を特別に $\eta_{\mu\nu}$ とします。 $$ (\eta_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ です。

一般相対論では曲った空間を扱うのですが、その中での時空に対する微分は単純に偏微分を取っただけだとテンソル方程式の形を保存するこができなくなるので、一般相対性理論の枠組みの中での不変な式とはみなされなくなります。そこでテンソルやベクトルの形を保存するために共変微分というものを使います。

クリストフェルの記号 $$ {\Gamma^\mu}_{\nu\lambda} = \frac 12 g^{\mu\rho} \left( \frac{\partial g_{\rho\nu}}{\partial x^\lambda} + \frac{\partial g_{\rho\lambda}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial g_{\nu\lambda}}{\partial x^\rho} \right ) $$ を導入します。これによって共変微分は以下のようになります。

$$ \begin{align} & \nabla_\mu X^\nu = \frac{\partial X^\nu}{\partial x_\mu} + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} X^\lambda \\ & \nabla_\mu \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_\mu} \\ & \nabla_\mu X_\nu = \frac{\partial X_\nu}{\partial x_\mu} + {\Gamma^\lambda}_{\nu\mu} X_\lambda \end{align} $$

さて、クリストフェルの記号を使ってリッチテンソルを導入します。

$$ R_{\mu\nu} = \left( \frac{\partial {\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} - \frac{\partial {\Gamma^\lambda}_{\mu\lambda}}{\partial x^\nu} + {\Gamma^\lambda}_{\lambda\rho}{\Gamma^\rho}_{\mu\nu} - {\Gamma^\lambda}_{\mu\rho} {\Gamma^\rho}_{\lambda\mu} \right) $$

これと計量を用いてスカラー曲率は $$ R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} $$ で定義されます。

アインシュタイン・テンソル $ G_{\mu\nu} $はリッチテンソルとスカラー曲率を用いて、 $$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - g_{\mu\nu} R $$ で定義されます。

さて、ここまで準備できたところでようやっとアインシュタインの方程式が記述できます。いきなり説明抜きでエネルギー・ストレス・テンソル $ T_{\mu\nu} $ を導入しますが、単純なイメージとしては質量やエネルギー(質量と等価)の分布や流れをあらわしてると思って下さい。中心に質量を持った天体があるとかそんな感じです。このとき、アインシュタイン方程式は、 $$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G_N}{c^4} T_{\mu\nu} $$ となります。 $c$ は光速度、 $G_N $ はニュートンの重力定数です。

さて、Wikipediaさんによると、複雑な式なんで教科書にはたまにしか載ってないよんとある(日本語版ではどうにも誤訳になってるところ)式の書き下しなのですが、さすがにちょっと省略。ミソはクリストッフェル記号の計算とリッチテンソルの計算のそれぞれに1階の微分が含まれているために、結果としてアインシュタイン・テンソルは2階の微分を含んでいるということです。あと、上記で出てきたテンソルや記号はあちこちに対称行列を含んでいるので、式は結果として簡略化されます。

$$ G_{\alpha\beta} = g^{\gamma\mu}(\delta^\epsilon_\alpha\delta^\sigma_\beta - \frac 12 g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta})(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}) $$ ここで、$$ g_{\alpha[\beta,\gamma]\epsilon} = \frac 12 (g_{\alpha\beta,\gamma\epsilon} - g_{\alpha\gamma,\beta\epsilon} ) $$ で、カンマのついた添字はカンマ以降の添字で偏微分することを意味します。

ところで、以前の記事でも書きましたが、重力の影響が小さいときは、近似的に平坦な空間の計量とそこからの偏位を加えたものとして表現することができます。

上の定義では平坦な時空の計量をデカルト座標で表わしたのですが、計算の簡略化のために極座標 $ (t, r, \theta, \phi) $ で表現します。 $$ (\eta_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix} $$

そして、計量を $$ g^{\prime\mu\nu}= \eta^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}\sqrt{|\det g|} = \eta^{\mu\nu} + h^{\mu\nu} $$ とします。 $\det g $ は $g^{\mu\nu}$ を行列としたときの行列式です。

ここでゲージ対称性を使うらしいのですが、それによって座標系の選び方によって $h_{\mu\nu}$ には $\nabla_\lambda h^{\mu\nu} =0 $ という条件が付くそうで。それを使うことでアインシュタイン方程式は $$ \square h^{\mu\nu} = -16\pi \tau^{\mu\nu} $$ と書き換えられます。 ここで、 $\square $ は空間と時間のそれぞれの成分について微分すること、 $\tau^{\mu\nu}$ は $h$ を使ったときのエネルギー・ストレス・テンソルの成分(？)らしいです。ただ、平坦な空間への線形近似を使うとこれはエネルギー・ストレス・テンソルそのものとみなすことができて、さらに何もない空間の場合はエネルギー・ストレス・テンソルそのものが0になるので、結果的にアインシュタイン方程式は $$ \square h^{\mu\nu} = 0 $$ となります。実はこれそのものが波動方程式になっています。波動方程式の一般形は、 $$ \frac{\partial A}{\partial t} = \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial y} + \frac{\partial A}{\partial z} $$ の形をしていて、上記の式はまさにこの形となるからです。

これを解いてただちに、 $$ (h^{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h_{+}(t-r,r,\theta,\phi) & h_{\times}(t-r,r,\theta,\phi) \\ 0 & 0 & h_{\times}(t-r,r,\theta,\phi) & -h_{+}(t-r,r,\theta,\phi) \end{pmatrix} $$ となります。 $ r $ は重力源から十分遠く離れてるとします。

ううみゅ。

結局色々とはしょらないといけませんでしたね。実際には具体的に成分で書き出してみたり、対称性を利用した公式を色々と駆使する必要があるそうですが。

でも、実際のところそういう泥臭い仕事はしたことないんですよねぇ。上に書いたぐらいでもかなり調べた方だし。

にゃあ。

あ、上の内容の式の正しさは保証しておりません。間違っても宿題やレポートにコピペしちゃだめですよ ^^;;;

_ [ラノベ][アニメ] 臨也誕

デュラララの折原臨也の誕生日だということで。

なんか圧倒的なファンが結構いるみたいです。

とは言っても、実はデュラララを見たことなくて、スピンオフの『折原臨也と、夕焼けを』を読んだことがあるだけなのでした。

_ [即売会][同人] COMITIA 116

行きます。M44a

そういえば8日に例大祭なんですね。行かないけど。。。

今日はメ活誌7か。1年後に8もやるというアナウンスがあったようで。