つれづれなるままに

_ [アニメ] Fate/Apocrypha

いよいよ最終決戦ということで。

それぞれの陣営でもそれぞれ思うところがあったようで。

_ [Vocaloid] リン・レン

ミクが10周年ということは実は鏡音リン・レンも10周年なんですよね。

鏡音リン・レン10周年記念サイトが本日公開！「鏡音リン・レン」は、皆様のおかげで2017年12月27日に10周年を迎えます！サイトでは、10周年を記念したイベントやコラボ、グッズなどたくさんの企画をご紹介いたします♪ https://t.co/xZWEaAHvC6 #鏡音リンレン #rinnlen10th pic.twitter.com/Ah4GxlU80z

— クリプトン 初音ミク 公式 (@cfm_miku) 2017年11月27日

_ [科学] 解析力学メモ

ちょっとメモっぽいやつ。

ごりごりニュートン方程式を解くよりも、もしかしたらラグランジュ方程式やハミルトン方程式を解く方が良いこともあるのかなぁ、とか。

ラグランジュアンは一般化座標 $q$, $\dot{q}$ を用いたときに運動エネルギー $K$ とポテンシャル $U$ から $$L(q,\dot{q},t)=K-U$$ となると。

このときラグランジュの運動方程式は $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$$ となると。

このラグランジュアンに対して作用積分 $$S[q]=\int_{t_I}^{t_F}L dt$$ が最小となるようになっていると。

それにしても、このラグランジュの運動方程式では一般化座標 $q$ の時間微分での微分が出てくるのですが、これって調べてみたらちょっとおもしろいことを意味していたのですね。

$x$ 軸方向に運動している質点の運動エネルギーは $$E=\frac{1}{2}mv^2$$ となるわけなのですが、これを $v$ で偏微分すると、 $$\frac{\partial E}{\partial v} = mv$$ となって実は運動量になっていたりして。当然、 $$v=\frac{dx}{dt}$$ ですから、ラグランジュの運動方程式の $\dot{q}$ での偏微分をしてることに相当するのですね。

実際、ポテンシャルが無いときの運動エネルギーは $K = \frac{1}{2}mv^2$ ですから、 $L=K$ となって、結局 $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{d}{dt}\frac{\partial K}{\partial v} - 0 = \frac{d}{dt}(mv) = 0$$ ということになるので、運動方程式は $$\frac{d}{dt}(mv) = 0$$ で、これはポテンシャルが無い状態では運動量保存則が成立することになりますね。両辺を積分してみればわかります。

$$\int_{t0}^{t1} \frac{d(mv)}{dt} dt = \left.mv\right|_{t=t_1} - \left.mv\right|_{t=t_0} = const.$$ というわけです。

ここでミソは $v$ だけじゃなくて $m$ も時間変化する可能性があるということ。実際ロケットの推進原理はそれですからね。逆に言うと、この運動エネルギーだけのラグランジュ方程式に重力のポテンシャルや空気抵抗を放り込むだけでロケットの運動方程式ができるわけだ。。なんと。

ハミルトニアンは $$H(p,q,t)=\sum_i p_i \dot{q}_i(p,q,t) - L(q,\dot{q}(p,q,t),t)$$ で定義され、ハミルトンの運動方程式は $$\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}(p,q,t), \dot{p_i}=\frac{\partial H}{\partial q_i}(p,q,t)$$ となると。ここで $p$ は一般化運動量で $q$ は一般化座標、と。

ああ、ややこしい。

解析力学的手法は相対論でも量子力学でも用いられているのを教科書で見てはいるのですが。

実際はラグランジュアンもハミルトニアンも簡単な形になるわけではないのですが、これらの方程式を数値積分することで、系のエネルギーを保存した形での解が得られるとかなんとか。

普通の数値積分のときは長時間のシミュレーションをするとエネルギーが発散しますが、解析力学的手法では系のエネルギーを一定にするようになっているので、一定のエネルギーのまわりに震動する解が得られるということを聞きました。

もっと深く掘り下げて勉強せんとなぁ。。

_ [日記] いろいろ

こっそりと何かでブロックされていたことに気付いたときほど悲しいことは無いもので。。

何かが趣味だということ自体が他の人からは嫌なことになることもあるのですからね。。

まぁ、そういう時は確かにそこに触れないでいるようにするべきなのですが。。

どうしてもよく薮蛇をつつくようなことやってしまうんだよなぁ。。